一種基于b樣條嚙合線的內嚙合齒輪齒形設計方法
【專利摘要】本發明公開了一種基于B樣條嚙合線的內嚙合齒輪齒形設計方法，該方法為根據B樣條曲線構造復雜曲線的自由性和靈活性，利用B樣條構造內嚙合齒輪嚙合線；根據齒輪嚙合原理，構造滿足該嚙合線的內嚙合內外齒輪共軛齒廓曲線并對其嚙合性能進行分析；以嚙合線的光順度和共軛齒廓嚙合性能為目標，進行共軛齒廓的優化設計；構造齒廓曲線到齒根圓的齒根過渡圓弧曲線并完內嚙合齒輪整齒設計。該方法設計的嚙合線構造共軛齒廓之前就可求解所構造共軛齒廓的嚙合性能。該方法利用B樣條構造嚙合線，通過改變控制頂點的位置坐標可方便的調整嚙合線的形狀，因此該方法在內嚙合齒輪共軛齒廓的幾何形狀設計及嚙合性能設計上具有很大的自由性。
【專利說明】
-種基于B樣條曬合線的內曬合齒輪齒形設計方法
技術領域
[0001 ]本發明屬于傳動齒輪設計技術領域，設及一種基于B樣條曬合線的內曬合齒輪齒 形設計方法。
【背景技術】
[0002] 內曬合齒輪傳動是一種重要的傳動形式，它由內外齒輪組成，可傳遞同向的運動 和動力，與外曬合齒輪傳動相比，結構更加緊湊，承載能力更強，可降低共輛齒廓曲線相對 滑動引起的動力損失，因此傳動效率更高，在車輛傳動、轉臂關節、醫療機械等傳動系統有 著廣泛的應用。目前，內曬合齒輪的齒形主要為漸開線齒形，它具有加工制造容易，安裝精 度敏感度低等優點，在工業上獲得最大范圍的應用，并形成了工業標準，擺線齒形作為另一 種傳動齒形，在鐘表、高精度減速器等方面也獲得了廣泛的應用。
[0003] 隨著新型傳動結構的出現及對內曬合齒輪傳動性能要求的提高，對內曬合齒輪的 設計提出了更高的要求。傳統的漸開線齒形及擺線齒形設計齒形固定，通過改變設計參數 改變齒輪的曬合性能，其適用范圍受限于設計參數，為了滿足不同機械結構對傳動形式及 傳動性能的要求，需要開發出一種適應不同傳動性能和傳動形式的內曬合齒輪設計方法。 "在齒輪傳動過程中，隨著接觸點在曬合線上滑動時，在齒輪坐標系上劃出的軌跡就是參與 曬合的齒輪齒廓曲線"，該研究提示我們:通過曬合線設計，可W構造出滿足不同曬合性能 的傳動齒輪共輛齒廓，運種齒廓的設計是自由的，共輛齒廓的幾何形狀及曬合性能決定于 曬合線的幾何特性，而漸開線齒形和擺線齒形是運種設計方法的兩種特例：當設計曬合線 為直線和圓弧時，構造的共輛齒廓齒形就為漸開線齒形和擺線齒形。同時隨著高精度數控 加工技術的發展，也為運種自由齒形的加工制造提供了可能。

【發明內容】

[0004] 本發明針對漸開線內曬合齒輪設計中齒數、變位系數限制，重合度小等問題，提供 了一種基于B樣條曬合線的內曬合齒輪齒形設計方法，該方法為根據B樣條曲線構造復雜曲 線的自由性和靈活性，利用B樣條構造內曬合齒輪曬合線;根據齒輪曬合原理，構造滿足該 曬合線的內曬合內外齒輪共輛齒廓曲線并對其曬合性能進行分析；W曬合線的光順度和共 輛齒廓曬合性能為目標，進行共輛齒廓的優化設計;構造齒廓曲線到齒根圓的齒根過渡圓 弧曲線并完內曬合齒輪整齒設計。該方法設計的曬合線不僅決定了內曬合齒輪共輛齒廓曲 線的幾何形狀，也決定了內曬合齒輪共輛齒廓的曬合性能，并且在構造共輛齒廓之前就可 求解所構造共輛齒廓的曬合性能。該方法利用B樣條構造曬合線，通過改變控制頂點的位置 坐標可方便的調整曬合線的形狀，因此該方法在內曬合齒輪共輛齒廓的幾何形狀設計及曬 合性能設計上具有很大的自由性。
[0005] 本發明采用的技術方案為:一種基于B樣條曬合線的內曬合齒輪齒形設計方法，該 方法利用B樣條曲線構造內曬合齒輪曬合線，根據齒輪曬合原理，建立關于曬合線與內曬合 齒輪共輛齒廓曲線之間對應關系式;構造滿足B樣條曬合線的共輛齒廓曲線;建立W曲線光 順度、控制頂點擾動及共輛齒廓曲線相對法曲率、相對滑動率最優的目標函數，求解得到優 化后的B樣條曬合線控制頂點坐標，重新構造內曬合齒輪共輛齒廓曲線;對設計的共輛齒廓 曲線進行干設檢查，根據檢查結果調整控制頂點；設計內外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡 曲線，完成內外齒輪齒形的總體設計。鑒于B樣條曲線的自由性和靈活性，通過B樣條既可構 造漸開線齒形的直線曬合線和擺線齒形的圓弧曬合線，也可構造其他齒形的復雜曬合線， 從而使該方法對內曬合共輛齒廓曲線的構造具有很大的自由度。
[0006] 該方法具體步驟如下：
[0007] 步驟一、設計內曬合齒輪曬合線，根據B樣條曲線的生成原理，W給定的曬合線上 的點為控制頂點，構造 WS次非均勻B樣條表示的內曬合齒輪曬合線；
[0008] 步驟二、根據共輛原理，建立內曬合齒輪傳動的共輛方程，該方程反應了曬合線上 的點與內曬合齒輪共輛齒廓曲線上共輛點之間的對應關系;在求解共輛齒廓曲線之前，根 據齒輪曬合理論，分析滿足設計B樣條曬合線的共輛齒廓曲線的曬合性質，包括相對法曲率 和相對滑動率；
[0009] 步驟=、根據曬合線與共輛齒廓曲線的對應關系式，帶入B樣條曬合線的分段多項 式，通過坐標變換和計算，得到滿足設計B樣條曬合線的內曬合齒輪共輛齒廓曲線上的齒形 點坐標；
[0010] 步驟四、W曲線光順性、B樣條曲線控制頂點擾動幅度、構造共輛齒廓曲線相對法 曲率、相對滑動率最優為目標建立優化函數，通過計算得到新的控制頂點坐標，重新進行內 曬合齒輪共輛齒廓曲線設計；
[0011] 步驟五、利用微分幾何學檢查內曬合齒輪共輛齒廓曲線上是否存在奇異點，進行 工作齒廓根切檢查;檢查內曬合齒廓共輛齒廓曬合過程是否發生齒頂干設及徑向干設，確 定干設點發生的位置，通過調整對應的B樣條曲線控制頂點消除內曬合齒輪干設情況；
[0012] 步驟六、構造內外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡圓弧曲線，完成內曬合共輛齒輪 整體設計。
[0013] 本發明與現有技術相比的優點在于：
[0014] 本發明所提出的是一種自由的內曬合齒輪齒形構造方法，突出的特點是利用B樣 條構造內曬合齒輪的曬合線，根據齒輪曬合原理構造滿足在該曬合線參與曬合的內外齒輪 共輛齒廓曲線，并W曬合性能最優和曬合線光順性進行了齒形優化。受益于B樣條曲線的自 由性和靈活性，該方法在內曬合齒輪設計方面具有很大的自由，根據本發明不僅能夠設計 出漸開線齒形和擺線齒形，也可根據齒形的性能需求設計其他齒形。隨著高精度數控加工 技術的發展，為本發明所設計的內曬合齒輪的加工制造提供了可能。
【附圖說明】
[0015] 圖1為本發明一種新型大重合度內曬合齒輪齒形設計方法流程圖；
[0016] 圖2為內曬合齒輪曬合線；
[0017] 圖3為內曬合齒輪坐標系和固定坐標系；
[0018] 圖4為齒根齒廓到齒根圓的過渡圓弧構造示意圖，其中，圓Oo為與齒根齒廓r f和齒 廓圓相切的圓，To、Tf分別為切點，t為在To處的切向；
[0019] 圖5為立次非均勻B樣條曬合線及共輛齒廓曲線，其中，圖5(a)為初始控審順點構 造的=次非均勻B樣條曬合線及共輛齒廓曲線；圖5(b)優化后控制頂點構造的=次非均勻B 樣條曬合線及共輛齒廓曲線；
[0020] 圖6為優化前后共輛齒廓曲線相對法曲率曲線；
[0021] 圖7為優化前后共輛齒廓曲線相對滑動率曲線；
[0022] 圖8為內外齒輪單齒齒形，其中，1-外齒輪齒廓曲線，2-外齒輪齒根齒廓到齒根 圓過渡圓弧曲線，3-內齒輪齒廓曲線，4-內齒輪齒根齒廓到齒根圓過渡圓弧曲線；
[0023] 圖9為內外齒輪整體齒形。
【具體實施方式】
[0024] 下面結合附圖對本發明方法的實施方式做詳細說明。
[0025] 本發明一種基于圓弧曬合線的大重合度內曬合齒輪齒形設計方法的流程圖如圖1 所示，包括（1)利用非均勻B樣條構造內曬合齒輪曬合線；（2)滿足B樣條曬合線的共輛齒輪 齒廓曲線與曬合線的對應關系建立及其曬合性質分析；（3)構造滿足=次非均勻B樣條曬合 線的內曬合齒輪共輛齒廓曲線；（4) W齒廓曲線光順性要求及共輛齒輪曬合性能最優建立 目標函數，對非均勻B樣條曬合線進行優化；（5)內曬合齒輪共輛齒廓曲線的干設檢查；（6) 構造內外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡曲線，完成內曬合共輛齒輪整體設計。
[00%]該方法具體步驟如下：
[0027] 步驟一、利用非均勻B樣條構造內曬合齒輪曬合線。
[0028] 在齒輪傳動過程中，隨著接觸點在曬合線上滑動時，在齒輪坐標系上劃出的軌跡 就是參與曬合的齒輪齒廓曲線。內曬合齒輪的曬合線為兩條，分別對應著內齒輪和外齒輪 的左右齒廓，一般而言，兩條曬合線是對稱的。內曬合齒輪的曬合線分布在內齒輪和外齒輪 齒頂圓之間，如圖2所示，齒輪1和齒輪2是一對內曬合齒輪，齒輪1為外齒輪，齒輪2為內齒 輪，設^和12為曬合線的兩段，Li位于第二象限，L2位于第四象限，為保證曬合線過原點且在 原點連續，分段曬合線^和12相交于原點，且在原點相切。
[0029] 對于漸開線內曬合齒輪，其曬合線。和1^2為兩條線段，相交于節點化，且與X軸的夾 角為壓力角曰，它們的端點分別為與內齒輪及中屯、輪齒頂圓的交點，對于擺線齒內曬合齒 輪，其曬合線。和12為兩段相切圓弧，相切與節點化，其中b是齒輪1右齒廓齒根與齒輪2左 齒廓齒頂的曬合線，L2為齒輪1右齒廓齒頂與齒輪2左齒廓齒根的曬合線;對于一般情況，內 曬合齒輪齒形不僅限于漸開線齒形和擺線齒形，只要滿足共輛條件且不發生干設均可成為 內曬合齒輪齒形。B樣條曲線具有靈活性和自由性，理論上，B樣條曲線可W擬合和逼近任意 的幾何形狀，因此可W利用B樣條構造內曬合齒輪曬合線，從而構造滿足B樣條曬合線的內 曬合齒輪齒形曲線。k次B樣條曲線方程為：
[0030]
U)
[0031] P(U)為分段多項式，其中，dia = 〇，l，2,…，n)為控制頂點，Ni,k(u)a = 〇，l，2,…， n)為k次規范B樣條基函數，簡稱B樣條，它是由節點矢量U=[u日，山，???，Un+k+l]:u日《m《…《 Un+k+l所決定的k次多項式。當節點矢量在可能范圍內（兩端節點重復度小于等于k+1，內節點 重復度小于等于k)任意選取，構造的B樣條曲線為非均勻B樣條曲線，確定節點矢量的方法 有里森費爾德方法和哈特利-賈德方法。
[0032] 當k = 3時，；次6樣條曲線可W表示為：
[0033]
(2)
[0034] 其中，樣條基函數Ni,3(u)(i = 0，l，2,…，n)為S次多項式，根據B樣條基函數的定 義可W得到：
[0035] [Ni-3,3(u) Ni-2,3(u) Ni-l,3(U) Ni,3(u)] = [u3 u2 U l]Mi (3)
[0036] 其中，Ml是由多項式的系數矩陣，把式(3)帶入式(2)得到=次B樣條曲線又可W表 示為：
[00371
(4)
[003引對于非均勻立次6樣條曲線，其在節點p(Ui)(i = k+l，5, . .，n)處為C2階連續，在其 他內點為廣階連續，并且非均勻B樣條曲線在首末端節點P(Uk)、P(Un+l)分別與控制多邊形 首末邊相切。
[0039] 利用非均勻B樣條曲線構造分段曬合線Li、L2,他們的控制頂點分別為:d嚴>(i = 0，1，2，-'，11)、山/^〇 = 0，1，2^-，111)，為保證分段曬合線1^1和1^2相交于原點，且在原點相 切，根據B樣條曲線的端點性質，使控制頂點= = 0)，d2W、d產 Cb 唯同一條直線Io上。心LiUm^分別在齒輪1和齒輪2的齒頂圓上，限制了曬合線的曬合 范圍。
[0040] 步驟二、滿足B樣條曬合線的共輛齒輪齒廓曲線與曬合線的對應關系建立及其曬 合性質分析
[OOW 如圖3,齒輪1和齒輪2的節圓內切于點Po,設直角坐標系Si:{01，Xi，Yi}，S2:{02，X2， Y2}分別與齒輪1和齒輪2固連，坐標系Sf: {Of, Xf, Yf}為固定坐標系，且化為節點，則Of在齒輪 械合化巧線K設則，辦分別為齒輪1和齒輪2傳動時的角位移，則齒輪1和齒輪2的傳動
巧曬合齒輪的中屯、距Ei2 = R2-Ri，其中Ri、R2設分別為齒輪1和齒輪2的節圓 半徑。B樣條曬合線在直角坐標系Sf上的齊次坐標表達式為：
[0042]
(5)
[0043] 其中，Xf，yf為B樣條曬合線上的點P在直角坐標系Sf上的坐標值。在齒輪曬合過程 中，接觸點在曬合線上并沿著曬合線滑動，接觸點在直角坐標系Si和S2上滑動的軌跡就是齒 輪1和齒輪2的齒廓曲線。曬合線上的共輛點在直角坐標系Si上的軌跡的向量表示為：
[0044] 其中，Xf，yf為曬合點P在直角坐標系Sf上的坐標值。在齒輪曬合過程中，接觸點在
[00 少 (6) 曬合線上并沿著曬合線滑動，接觸點在直角坐標系Si和S2上滑動的軌跡就是齒輪I和齒輪2 的齒廓曲線。曬合線上的共輛點在直角坐標系Si上的軌跡的向量表示為：
[004d
[0047 C7)
[00少
[0049 r, (8)
[(K)SC
[0051 (9)
[0052] 根據平面齒輪曬合理論，共輛齒形曲線在切觸點處的公法線與回轉中屯、線化化相 交并將該線分為兩段化P和化P，兩線段之比值為齒輪傳動比。得到的齒輪1的曬合方程為：
[0053] (10)
[0化4]
[005引
[0056]得到齒輪2的角位移的表達式為：
[0化7]
(12)
[0058] 式（11)、（12)建立起了曬合線上的點與共輛齒廓曲線上接觸點的對應關系，把式 (11)、（12)帶入式(6)、（8)得到齒輪1和齒輪2的共輛齒廓曲線表達式。
[0059] 在得到內曬合齒輪共輛齒廓曲線之前，根據曬合線與共輛齒廓曲線的對應關系 (11)和（12)可W分析構造的內曬合齒輪共輛齒廓曲線的曬合性質，如相對法曲率、相對滑 動率。
[0060] 根據曲線的法曲率關系式得到齒輪1齒廓曲線在點P處的法曲率為：
[0061]
U3a)
[0062] 同樣，齒輪2齒廓曲線在點P處的法曲率為：
[0063]
(13b)
[0064] 齒輪1和齒輪2共輛齒廓曲線在曬合點P處的相對法曲率為：
[00 化]
(14)
[0066] 根據齒輪的齒面方程(6)和(8)得到齒輪1的弧長元素為：
[0067] MSa')
[006引
[0069] (1沈）
[0070] 齒輪1和齒輪2在點P處接觸，在化時間內滑動的弧長分別為dsi、ds2，則其相對滑動 率定義為：
[0071]
(化）
[0072] 把方程（15a)和（1化)帶入方程(16)得到了齒輪1和齒輪2共輛齒廓曲線在曬合點P 處的相對滑動率。
[0073] 步驟=、構造滿足=次非均勻B樣條曬合線的內曬合齒輪共輛齒廓曲線
[0074] 當曬合線為S次非均勻B樣條表示時，曬合線方程為分段S次多項式(4)，設Xf(U) =又1(11)，7:(11)=71(11)，11￡[化，化+1]，它滿足曬合方程式（10)、（11)。
[0075] 由于=次B樣條曲線為分段=次多項式，不同定義域區間對應不同的=次多項式 表達式，需對U進行分段積分。首先確定U G [ Ui，Ui +1 ]區間，然后分別對[Uk，Uk+1 ]、[ Uk+1， 化+2]、…、山-1，化]、山，U]進行分段積分，得到的最終分段積分為：
[0076]
(17)
[0077] 得到的奶為齒輪I齒廓曲線的齒形點從初始位置到參與曬合所轉過的弧度，即齒 廓曲線齒形點與曬合點的對應關系，把式（17)帶入式(6)得到齒輪1的齒廓曲線方程，由于 界2(?) = 口1 (M) 通過式(8)可W得到齒輪2的齒廓曲線方程。
[007引同樣，把式（17)帶入式（13a)、（13b)、（14)和（15a)、（1加）、（16)可W得到齒輪1和 齒輪2共輛齒廓曲線的相對法曲率和相對滑動率。
[0079] 步驟四、內曬合齒輪共輛齒廓的的優化設計
[0080] 在共輛齒輪齒廓的設計過程中，共輛齒廓曲線的光順度及曬合特性取決于曬合線 的幾何性質。利用非均勻B樣條曲線構造齒輪曬合線，其形狀由控制多邊形決定，可W通過 對控制頂點位置的調整實現曬合線形狀的修改。
[0081] 根據曲線法曲率表達式，曲線的曲率變化主要受P" (U)的影響，光順曲線的曲率分 布需分段線性的，則P"(u)在節點區間上也應趨于線性變化。根據運個特性，建立代表B樣條 曲線光順性的能量函數為：
[0082]
(18)
[0083] 為約束待修正控制頂點(11<^。= 2,3，。，，11-1)的擾動幅度，可對控制頂點的擾動幅 度增加一個權電，律立的特制頂點擾動幅度目標函數為：
[0084]
(19)
[0085] 其中，W2i為控制頂點擾動幅度的權重。
[0086] 相對滑動率是共輛齒廓曲線的重要曬合特性之一，建立關于相對滑動率的目標函 數為：
[0087]
(-20)
[0088] 對于齒輪1齒根齒廓與齒輪2齒頂齒廓曬合，有ds廣ds2<〇,對于齒輪1齒頂齒廓與齒 輪2齒根齒廓曬合，ds廣dS2〉〇，因此，在對于曬合線^，I ds廣dS2 I = ds廣dS2，對于曬合線L2， dsi-ds21 =-(dsi-ds2)。把式（15a)、式（巧b)帶入式（19)并約去?y/x; + j;得到：
[0089]
(21)
[0090] 共輛齒廓的相對法曲率可W由式(14)表示，則建立的相對法曲率目標函數為：
[0091]
C22)
[0092] 根據共輛齒廓曲線的法曲率式（13a)、（13b)，當齒輪I齒廓曲線法曲率表達式的分 子、分母與齒輪2齒廓曲線法曲率表達式的分子、分母之差最小時，共輛齒廓曲線的相對法 曲率會很小，約去公因子得到相對法曲率的目標函數為：
[0093]
(巧）
[0094] 根據式(17)、（18)、（20)和(22)，得到的整體目標函數為：
[0095] F=wiFi+F2+W3F'3+W4F'4 (24)
[0096] 其中，wi、W3、W4分別為光順度、相對滑動率及相對法曲率在目標函數中所占的權 重。要巧目標巧數F最小，可令
[0097]
(25)
[0098] 運是2(n-2)元一次方程組，未知量為di,x、di,y(i = 2，???，n-l)共2(n-2)個，其矩陣 表達式為：
[0099] Md = C (26)
[0100] 其中，M為系數矩陣，坊Kn-I) X2向量，d的表達式為：
[0101] d=[dx dy]T dx=[d2x d3x ... d(n-l)x] dy=[d巧 d：3y ... d(n-l)y]
[0102] 求解W上方程組得到經過優化后的B樣條曬合線控制頂點的坐標值。
[0103] 根據步驟一、步驟二和步驟=重新構造內曬合齒輪共輛齒廓。
[0104] 步驟五、內曬合齒輪共輛齒廓曲線的干設檢查
[0105] 若共輛齒輪齒廓曲線上出現奇異點，在該點處將產生輪齒根切。根據齒輪曬合原 理，輪齒根切的判定條件為接觸點在齒廓曲線上的滑動速度為零，即：
[0106]
[0107] (28)
[010引齒輪1輪齒根切的判定條件為：
[0109] Xf (U)X'f (u) + (-Ri+yf (U) )y'f (U) =0 (29a)
[0110] 齒輪2輪齒根切的判定條件為：
[0111] Xf (U)X'f (u) + (-R2+yf (U) )y'f (U) =0 (29b)
[0112] 把式(4)代入式(29a)、（29b)可W判定滿足B樣條曬合線的內曬合齒輪共輛齒廓是 否發生齒廓干設。因此，W方法構造的內曬合共輛齒廓是否干設是由曬合線的決定的，在構 造共輛齒廓曲線之前就可W進行判定。鑒于內曬合齒輪的復雜性及B樣條曲線的自由性，判 斷此方法構造的內曬合齒輪是否發生齒頂干設和徑向干設，只有通過對構造共輛齒廓在每 一個轉動位置進行判定才能實現。此方法可W獲得共輛齒廓上的齒形點坐標，通過在幾個 關鍵位置齒形點的轉換位置計算及干設判斷可W完成構造共輛齒廓齒頂干設及徑向干設 的判定。
[0113] 若發生干設，根據干設出現的位置可W對B樣條曬合線上對應控制點進行調整，重 新進行內曬合齒輪共輛齒廓曲線構造并進行干設檢查，直到不發生干設為止。
[0114] 步驟六、構造內外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡曲線
[0115] 確定內外齒輪輪齒齒根齒廓曲線在端點To處的切向t，構造與齒根圓和齒根齒廓 曲線在端點相切的圓弧過渡曲線ToTf。，如圖4所示。
[0116] 下面具體舉例說明：
[0117] W齒數Z1 = 35，z2 = 50，m = 4的內曬合齒輪為例，簡要說明本方法的實施方式。其 他參數為11日1 =4mm,hfl = Smm,ha2 = 4mm,hf2 = 5mm。
[0118] 步驟一、利用非均勻B樣條構造內曬合齒輪曬合線。
[0119] 設計的曬合線為外齒輪1右側齒廓與內齒輪2左側齒廓的曬合線，分為^、L2兩段， 如表 1 所示，其控制頂點為di(Li)(i = 〇, 1,2,…，n)、dij(L2)( j = 〇, 1,2,…，m)，滿足do(Li) = do 似, = (0,0)，(12(山、山(山、(1日(山、山似)、(12似 )在同一條直線1日上。山(山、(1。叫分別在齒輪1和齒 輪2的齒頂圓上。
[0120] 把控制頂點的坐標帶入式(4)，則得到了曬合線方程的=次非均勻B樣條曲線表 /J、- O
[0121 ]表1非均勻B樣條曬合線控制頂點
[0122]
[0123]
[0124] 步驟二、滿足B樣條曬合線的共輛齒輪齒廓曲線與曬合線的對應關系建立及其曬 合性質分析
[0125] 根據共輛原理，得到共輛方程表達式式（11)，對共輛方程式(11)積分，得到曬合線 上的點與共輛齒廓曲線上接觸點的對應關系式(11)及式(12)。
[0126] 根據齒輪1和齒輪2共輛齒廓曲線在曬合點P處的相對法曲率表達式（14)及相對滑 動率表達式（16 )，得到的共輛齒廓曲線的相對法曲率曲線和相對滑動率曲線如圖6、圖7所 /J、- O
[0127] 步驟=、滿足設計曬合線的共輛齒輪齒廓曲線的構造
[0128] 對于=次非均勻B樣條曲線，其方程表達式為分段=次多項式，需對U進行分段積 分。首先確定UG [Ui，Ui+l]區間，然后分別對[Uk，Uk+l]、[Uk+1，Uk+2]、…、[Ui-l，Ui]、[Ui，u]進行 分段積分，得到的最終分段積分為：
[0129]
(30)
[0130] 得到的口 1為齒輪1齒廓曲線的齒形點從初始位置到參與曬合所轉過的弧度，即齒 廓曲線齒形點與曬合點的對應關系，把式(30)帶入式(6)得到齒輪1的齒廓曲線方程，由于 的(《)= 口1 (W) /刪2,通過式(8)可W得到齒輪2的齒廓曲線方程。
[0131] W上得到的共輛齒廓曲線為中屯、輪1右側齒廓與內齒圈2左側齒廓，如圖5(a)所 /J、- O
[0132] 步驟四、內曬合齒輪共輛齒廓的優化設計
[0133] 在內曬合齒輪共輛齒廓設計過程中，共輛齒廓曲線的光順度及曬合特性取決于曬 合線的幾何性質。非均勻B樣條曬合線的形狀由控制頂點決定，可W通過對控制頂點位置的 調整實現內曬合齒輪共輛齒廓的優化設計。
[0134] WB樣條曬合線光順性、控制頂點位置擾動、共輛齒廓相對法曲率及相對滑動率為 優化目標建立目標函數式(23)，通過求解目標函數得到了優化后的B樣條曬合線控制頂點 的位置坐標為di' (Li)(i = 〇,l ，n)、dj' (L2)( j = 〇,l ,2,…，m)，如表2所示。
[01 對為了滿足do'(山= do'化2) = (0,0)，d2'山Ui'山Uo'山Ui' (L2)、cb'化2)在同一條直 線Io上。山/ fLlUm/ (L2)分別在齒輪1和齒輪2的齒頂圓上，在設置控制頂點擾動時，使運幾個 點不產生擾動，即坐標值不變。
[0136] 根據步驟一、步驟二和步驟=重新構造內曬合齒輪共輛齒廓及求解其相對法曲率 和相對滑動率。得到了優化后的B樣條曬合線及構造的共輛齒廓曲線如圖5(b)所示，其相對 法曲率和相對滑動率如圖6、圖7所示。
[0137] 表2優化后非均勻B樣條曬合線控制頂點
[013 引
[0139] 步驟五、設計共輛齒廓曲線的干設檢查
[0140] 對于給定的=次非均勻B樣條曬合線分段多項式方程表達式(4)，帶入中屯、輪1工 作齒廓干設的判定條件式(29a)和內齒圈2工作齒廓干設的判定條件式(29b)，發現實例中 構造的B樣條曬合線滿足：
[0141]
(31)
[0142] 則根據該曬合線構造的共輛齒廓曲線不會產生工作齒廓干設。通過對構造的共輛 齒廓轉動一定角度檢查發現，此方法構造的共輛齒廓不發生齒頂干設和徑向干設。
[0143] 步驟六、齒輪工作齒廓到齒根圓的過渡曲線構造
[0144] 中屯、齒根齒廓曲線的端點為Tio(0.7102 ,-66.4380 )，在端點Tio的切線方向t (0.1303,0.9915)，中屯、齒輪的齒根圓中屯、〇1(0,0)，半徑m = 65mm，通過幾何求解，與中屯、 輪齒根圓外切于點Tfi的一段圓弧TioTfi的中屯、〇1〇(2.3987，-66.6599)，半徑rio = 1.703mm， 則中屯、輪齒根齒廓到齒根圓的過渡圓弧方程表達式為：
[0145]
[0146] 內齒輪齒根齒廓曲線的端點為T20(-1.47 1 8,-103.8 1 82)，在端點T20的切線方向t (-0.4384，-0.8988)，外齒輪的齒根圓中屯、〇2(0，0)，半徑打2 = 105mm，通過幾何求解，與內齒 圈齒根圓外切于點1:2的一段圓弧12〇1:2的中屯、〇2〇(-3.2803，-102.9353)，半徑^〇二 2.0125mm，得到內齒圈齒根齒廓到齒根圓的過渡圓弧方程表達式為：
[01471
(33)
[0148]得到的中屯、輪和內齒圈輪齒如圖8和圖9所示，圖8為中屯、輪和內齒圈單齒形狀，分 別由齒頂圓、齒廓曲線、過渡圓弧曲線及齒根圓組成，如圖9所示中屯、輪和內齒圈整體齒形 及曬合線。
[0149] 本發明未詳細闡述部分屬于本領域的公知技術。
[0150] W上所述，僅為本發明部分【具體實施方式】，但本發明的保護范圍并不局限于此，任 何熟悉本領域的人員在本發明掲露的技術范圍內，可輕易想到的變化或替換，都應涵蓋在 本發明的保護范圍之內。
【主權項】
1. 一種基于B樣條嚙合線的內嚙合齒輪齒形設計方法，其特征在于：該方法利用B樣條 曲線構造內嚙合齒輪嚙合線，根據齒輪嚙合原理，建立關于嚙合線與內嚙合齒輪共輒齒廓 曲線之間對應關系式;構造滿足B樣條嚙合線的共輒齒廓曲線;建立以曲線光順度、控制頂 點擾動及共輒齒廓曲線相對法曲率、相對滑動率最優的目標函數，求解得到優化后的B樣條 嚙合線控制頂點坐標，重新構造內嚙合齒輪共輒齒廓曲線;對設計的共輒齒廓曲線進行干 涉檢查，根據檢查結果調整控制頂點；設計內外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡曲線，完成內 外齒輪齒形的總體設計;鑒于B樣條曲線的自由性和靈活性，通過B樣條既可構造漸開線齒 形的直線嚙合線和擺線齒形的圓弧嚙合線，也可構造其他齒形的復雜嚙合線，從而使該方 法對內嚙合共輒齒廓曲線的構造具有很大的自由度。2. 根據權利要求1所述的一種基于B樣條嚙合線的內嚙合齒輪齒形設計方法，其特征在 于:該方法具體步驟如下： 步驟一、設計內嚙合齒輪嚙合線，根據B樣條曲線的生成原理，以給定的嚙合線上的點 為控制頂點，構造以三次非均勻B樣條表示的內嚙合齒輪嚙合線； 步驟二、根據共輒原理，建立內嚙合齒輪傳動的共輒方程，該方程反應了嚙合線上的點 與內嚙合齒輪共輒齒廓曲線上共輒點之間的對應關系；在求解共輒齒廓曲線之前，根據齒 輪嚙合理論，分析滿足設計B樣條嚙合線的共輒齒廓曲線的嚙合性質，包括相對法曲率和相 對滑動率； 步驟三、根據嚙合線與共輒齒廓曲線的對應關系式，帶入B樣條嚙合線的分段多項式， 通過坐標變換和計算，得到滿足設計B樣條嚙合線的內嚙合齒輪共輒齒廓曲線上的齒形點 坐標； 步驟四、以曲線光順性、B樣條曲線控制頂點擾動幅度、構造共輒齒廓曲線相對法曲率、 相對滑動率最優為目標建立優化函數，通過計算得到新的控制頂點坐標，重新進行內嚙合 齒輪共輒齒廓曲線設計； 步驟五、利用微分幾何學檢查內嚙合齒輪共輒齒廓曲線上是否存在奇異點，進行工作 齒廓根切檢查;檢查內嚙合齒廓共輒齒廓嚙合過程是否發生齒頂干涉及徑向干涉，確定干 涉點發生的位置，通過調整對應的B樣條曲線控制頂點消除內嚙合齒輪干涉情況； 步驟六、構造內外齒輪齒根齒廓到齒根圓的過渡圓弧曲線，完成內嚙合共輒齒輪整體 設計。
【文檔編號】F16H55/17GK106015516SQ201610346340
【公開日】2016年10月12日
【申請日】2016年5月24日
【發明人】王延忠, 李圓, 趙鵬坤, 任少英
【申請人】北京航空航天大學