基于固定分辨率條件下的離散Radon投影和Mojette投影轉換方法
【技術領域】
[0001] 本發明屬于圖像處理領域里的計算機層析成像（ComputedTomography，CT)技術 領域，涉及在圖像投影變換域的稀疏采樣及高效復原問題。
【背景技術】
[0002] CT技術是一種基于計算機的三維重構技術，能夠在不損壞物體表層和內部構造的 前提下，重現出物體不可見的內部切片結構。在CT成像算法上，按照成像原理的不同，分為 解析類和迭代類重建算法；按照重建精確性的不同，又分為近似重建和精確重建算法。在解 析算法中，奧地利數學學家Radon提出的變換模型利用低維的壓縮投影數據來重構高維度 的物體結構，這一數學模型的提出對CT的圖像重建技術起到了關鍵性的啟蒙和指導作用。 在這一理論基礎的指引下，濾波反投影等解析算法相繼被提出，該算法在完備的投影角度 下，能精確的重建出圖像斷層，且能抑制在重建過程中產生的各種偽影，在CT成像領域具 有里程碑式的意義。
[0003] 但由于成像系統是數字離散系統，因而連續的投影模型無法適用于離散的圖像， 故而離散Radon變換隨機應運而生。離散Radon變換及其逆變換解決了從模擬域向數字域 轉換的問題，但基于Radon逆變換的重建算法需要大量的采樣樣本和投影數量，才能重建 出較好的重建斷層，這種重建需求必然會導致過高的輻射劑量和過長的重建時間，出于對 醫學成像中病人身體健康和病灶動態變化會導致偽影的考慮，在短時間、低劑量和稀疏角 度下進行高質量成像就顯得尤為重要，同時又充滿挑戰。
[0004] 在Radon變換的基礎上，GuedonJP等提出了Mojette變換的概念，該變換是離 散Radon變換的一種特殊形式，Mojette變換通過改變不同投影矢量下的采樣率，能夠在最 大程度上避免像素點重復和冗余采樣，以避免出現一部分像素點過采樣，而另一部分像素 點欠采樣而帶來的重建效果上的不精確。并通過充分利用已重建出來的像素點的信息，從 而大大減小了重建斷層所需的投影角度和投影射線條數。
[0005] 但由于Mojette投影系統要求探測器分辨率隨著投影角度的變化而變化，且在投 影角度之間的步進角也不是一個固定的常值，這與現行的采樣模式大相徑庭，實際的投影 系統符合Radon變換的采樣模式，探測器分辨率不隨投影角度而變化，因此通過Radon變換 得到的投影值不可能直接參與到Mojette逆變換當中來，而是先要將Radon投影轉換到相 關的Mojette投影上去，再利用Mojette逆變換來進行反重建。
[0006] 完成從Radon投影到Mojette投影的轉換，其中需要解決幾個實際的問題：1.投 影矢量和投影角度之間的匹配轉換，由于Mojette投影系統中采用一對互質的整數來表達 投影方向，稱之為投影矢量，而Radon投影系統中采用的是極坐標中的旋轉角度，故而需要 通過簡單的換算將Mojette投影矢量表達的方向轉換成Radon投影中的旋轉角；2.Mojette 變換中可變分辨率與Radon變換中固定分辨率之間的矛盾，由于Mojette變換中的探測器 分辨率或者說是投影射線條數為隨著投影矢量而變化的函數，而Radon投影的探測器分辨 率是不隨著投影角度而變化的，這就使得采樣系統中得到的Radon投影需要通過本發明中 提出的算法進行轉換，才能得到可以高效重建圖像的Mojette投影。

【發明內容】

[0007] 本發明的目的是提供了一種基于固定分辨率采集的Radon投影轉化為Mojette 投影的算法，該方法在詳細分析了Mojette投影和Radon投影的關系之后，解決了固定分辨 率條件下的兩投影之間的轉化難題，給出了Radon投影轉化為對應投影矢量下的Mojette 投影的充要條件，并基于此給出了具體的轉化算法，使得實際成像條件下采集的Radon投 影能夠轉化為Mojette域的投影。
[0008] 本發明的技術方案的原理及步驟如下：
[0009] -、技術方案的原理是：
[0010] 1.建立投影空間坐標系：設投影空間坐標系用x-o-y表示，如圖1所示，坐標原 點〇為待重建物體的幾何中心，X軸正向與探測器像元索引號增加方向一致，y軸正向與 射線傳播方向一致，x-o-y平面內的一點的空間坐標為（x，y)。光源與探測器在x-o-y平 面內逆時針旋轉，旋轉角度為0，設旋轉后的空間坐標系用\-o_h表示，像素點的旋轉坐 標為在連續域的二維圖像空間內，將物體所在區域離散化為MXN的離散小塊， 設ObjSize為待重建矩形區域的行方向上的邊長，則每一個重建像素的物理尺寸大小為 ObjPixel=ObjSiZe/M，如圖2所示。其中，（i，j)為標記離散小塊行列位置的索引坐標， 即若利用二維矩陣存儲該離散圖像，則i代表在矩陣中的行數，j代表在矩陣中的列數，通 常將圖像左上角第一個小塊的位置記為索引坐標起始位置（1，1)。
[0011] 明確重建斷層像素在x-〇-y平面內的空間坐標（X，y)和在旋轉坐標系Xj-o-yj?平 面內旋轉坐標0^，^)之間的關系，如式（1)所示。
[0013] 明確重建斷層像素在x-0-y平面內的空間坐標（x，y)和離散域索引坐標（i，j)之 間的關系，通常，以待重建斷層的左上角像素為起點，記該像素的索引坐標為（1，1)，索引坐 標為（1，1)的像素中心點的空間坐標（x，y)為：
[0014] ((l-(M+l)/2) ?ObjPixel，（l-(N+l)/2) ?ObjPixel)
[0015] 索引坐標為（i，j)的像素中心點的空間坐標（x，y)為：
[0016] ((i-(M+l)/2) ?ObjPixel, (j-(N+l)/2) ?ObjPixel)
[0017] 基于以上兩種坐標的對應，則得到索引坐標為（i，j)的像素中心點在旋轉坐標系 中的旋轉坐標為：
[0018] xr= [(j-(N+l)/2) ?ObjPixel?sin( 0 ) + (i-(M+l)/2) ?ObjPixel?cos( 0 )]
[0019] yr= [-(i-(M+l)/2) ?ObjPixel?sin( 0 ) + (j-(N+l)/2) ?ObjPixel?cos( 0 )]
[0020] 2.離散Radon變換：對分辨率大小為MXN的離散圖像f進行離散Radon變換，其 過程用式（2)來表述：
[0022] 其中，1^1\表示在投影角度0下的Radon投影，RFT0 〇〇表示在投影角度0下 打在探測器x,位置處的Radon投影值。f(i，j)代表待重建的圖像切片上索引坐標為（i，j) 的一點的灰度值。若以（0，\)標記投影角度0下打在探測器上的物理偏移量為&的一 條投影射線，％，從^表示在投影射線（0，\)和象素點（i，j)之間的權重核函數，通常為 S函數或0次樣條函數（即將投影貢獻權值等比例的視為穿過該象素點的線段長值）。
[0023] 設在所有投影角度0下穿過像素中心點的射線的線段權值為1，而對穿過該像素 其它位置的的射線，則需要根據這些射線與中心射線之間的垂直距離IAX」，計算出其線 段權重值％，從，&，其具體的計算公式如式（3)所示。
[0025] 其中，ObjPixel代表每一個重建像素的物理尺寸。
[0026] 3.Mojette變換：Mojette變換中用一對互質的整數（p,q)來表達投影方向，一般 有pGZ，qeZ+，p代表了圖像列方向上的整數位移，q代表了圖像行方向上的整數位移， 投影矢量（P，q)表達的投影角度0 =tarTHq/p)，對分辨率大小為MXN的離散圖像f進 行Mojette變換，其過程用式（4)來表述：
[0028] 其中，1\1〇幾(1表示在投影矢量（p,q)下的Mojette投影，Moj^(bin)表示在投影矢 量（P，q)下打在探測器bin上Mojette投影值。f(i，j)代表待重建的圖像切片上索引坐標 為（i，j)的一點的灰度值，P〇為一個探測器像元位置矯正量，當投影矢量P>〇時，P〇=〇; 當投影矢量P〈〇時，P〇= (N-1) ?p。
[0029] Mojette變換與Radon變換相比最大的不同在于，Radon變換中探測器分辨率為 固定的常值，穿過物體切片的Radon投影射線之間距離是固定的，因而不能保證每條Radon 投影射線都能穿過像素的中心點，穿過像素中心點的線段權值記為1，而不穿過像素中心點 的線段權值要根據具體線段長度而定，計算方法如式（3)所示；而Mojette變換中每條投影 射線都只穿過像素的中心點，因此不同投影矢量（P，q)下探測器分辨率B(M，N，p，q)不同， 探測器分辨率的值是由圖像重建分辨率MXN和投影矢量（p，q)共同決定的，即投影矢量 (p,q)下的Mojette探測器分辨率為B(P,Q,p,q) = (Q-1) |p| + (P-1) |q|+1。這意味著在覆 蓋相同直徑范圍內的切片時，不同投影角度下的Mojette投影射線之間的間距hi不同：
[0031] 此外，Radon變換在模擬域重建是精確的，在離散域重建是近似的。而Mojette變 換在離散域的重建是精確的。
[0032] 4.Mojette投影矩陣的構造方法：
[0033] 基于Mojette正變換原理，下面闡述一下Mojette投影矩陣的構造方法。
[0034] 1)初始化參數，設重建斷層分辨率為MXN，投影矢量為（p，q)，投影矩陣為
'，其中，B= (N-l)|Pi| + (M-l)|qi|+l，V=M.N。待重建圖像列矢 量化后的一維向量為X，投影矢量（p,q)下的Mojette投影為Mojj^，則有Systen^Mojp^*x=M〇jp；q；
[0035] 2)在每個投影矢量（p，q)下，遍歷每一個像素點（i，j)，計算其打在探測器上的位 置bin:
[0037] bin=p? (i_l)+q? (j_l)-po+1
[0038] 3)將通過投影矢量（Pi，qi)建立起來的斷層上的一點（i，j)與探測器像元bin之 間的投影映射關系，存儲到線性投影矩陣SyStem_M〇jp，q中，即：
[0039] System_Mojp；q(bin, (i~l) ?N+j) = 1 ；
[0040] 4)當遍歷完所有像素點后，投影矩陣System_Mojp;(1構造完成。
[0041] 投影矩陣Systen^Moj^if每一行代表著一條Mojette投影射線，每一列 代表著穿過一個像素點的所有投影射線的線段權值。投影方程中的一